Matemática Através de Problemas - VI

Oi, pessoal!

Dada a falta de tempo dos administradores do blog, não estamos conseguindo postar muito conteúdo. Para compensar a falta de material novo, apresentamos aqui mais uma leva de problemas interessantes: 

1 - Ache todas as funções contínuas $ H : L^1(\mathbb{R}^n) \rightarrow \mathbb{C}$ tais que $H$ é linear e $H(f*g) = H(f)H(g)$. 

2 - (Rearranjo de Hardy-Littlewood)

(a) Sejam $ \{a_i\}$ e $\{b_i\}$ duas sequências de reais positivos. Se $\{c_i\}$, $\{d_i\}$ são, respectivamente, seus rearranjos decrescentes (i.e., $\{c_i\}= \{a_i\}$, $\{d_i\}=\{b_i\}$, com $c_1 \ge c_2 \ge c_3 \ge \cdots \ge c_n$, $d_1 \ge d_2 \ge d_3 \ge\cdots \ge d_n$), mostre que

$$ \sum_{i=1}^n a_i b_i \le \sum_{i=1}^n c_i d_i $$

(b) Mostre que, se f, g são funções mensuráveis, e se f*, g* são seus rearranjos decrescentes (c.f. Wikipedia ) definidos em R, então

$$ \int_{\mathbb{R}^n} f(x)g(x) dx \le \int_{0}^{\infty} f^{*} (t) g^*(t) dt $$

3 - Seja V espaço vetorial. Suponha que, neste espaço vetorial, tenhamos uma forma bilinear $ a: V \times V \rightarrow \mathbb{R}$, e que são conhecidos apenas os valores de $a(v,v), \forall v \in V$. Mostre que, de fato, conhecemos todos os valores $a(u,v) \forall u,v \in V$.

4 - Seja V um espaço vetorial dotado de um produto interno $\langle , \rangle$. Dada uma base $\{u_1,\cdots, u_n\}$, prove que existe uma base ortogonal $\{v_1,...,v_n\}$, e descreva explicitamente uma tal base.

5 - Mostre que, para todo conjunto Boreliano $E \subset [0,1]$, temos que

$$ \int_E x^{-1/2} dx \le 2 m(E)^{1/2} $$

6 - Suponha que São dados $n$ pontos $w_1,...,w_n$ na circunferência unitária do plano complexo. Mostre que existe um ponto $w$ tal que o produto das distâncias $|w-w_i|$ é maior estritamente que 1. Você é capaz de dar cotas melhores? Tente provar que existe um ponto tal que este produto é $\ge 2$. 

7 - Seja $P(x)$ um polinômio. Mostre que 

$$ \int_0 ^{\infty} e^{-x} P(x) dx = P(0) + P'(0) + P''(0) + \cdots $$ 

Dicas e Sugestões 

1 - Use o Teorema de Representação para $L^1$ para concluir que 

$$ H(f) = \int_{\mathbb{R}^n} f(x) \alpha (x) dx $$

Para alguma função $\alpha \in L^{\infty}$. Use a propriedade de que $H$ respeita convoluções para concluir que, para $f,g$, temos que 

$$ \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} f(x)g(x) \alpha (x) \alpha (y) dx dy = H(f)H(g) = \\ = H(f*g) = \int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n} f(x-y)g(y)\alpha(x) dx dy = \int_{\mathbb{R}^n}\int_{\mathbb{R}^n} f(x)f(y) \alpha(x+y) dx dy $$

Isso implica que $\alpha(x+y) = \alpha(x) \alpha(y)$ para quase todo par $(x,y) \in {\mathbb{R}^n}\times {\mathbb{R}^n}$. É conhecido, porém, que isto implica que $\alpha(x) = e^{a \cdot x}$, $a \in {\mathbb{C}^n}$. Use que $\alpha \in L^{\infty}$ Para concluir. 

2 -  Uma prova das desigualdades pode ser facilmente obtida adaptando o argumento dado aqui. Contudo, é possível provar (a) diretamente fatorando a soma da direita menos a da esquerda, e (b) pode ser provado aproximando funções mensuráveis por funções simples. 

3 - Mostre que $a(u,v) = \frac{1}{2} (a(u+v,u+v) - a(u,u) - a(v,v) )$. 

4 - Argumente indutivamente. Ache $v_n$ em função de $v_1,...,v_{n-1},u_n$ como um elemento mutuamente ortogonal a $v_1,...,v_{n-1}$ achado a partir de $u_n$. Para mais detalhes, veja aqui.

5 - Comece mostrando para $E$ um intervalo. Mostre que, mais geralmente, para qualquer aberto $O$, temos que 

$$ \int_O t^{-1/2} dt \le \int_0^{m(O)} t^{-1/2} dt $$ 

Onde $m(O)$ é a medida de $O$. Aproxime um boreliano por um aberto para concluir. 

6 - Considere $P(z) = (z-w_1)\cdots(z-w_n)$. Use que $|P(0)|=1$ e o princípio do máximo para concluir. Veja aqui para uima cota melhor. 

7 - Integre por partes sucessivamente e use indução.